Matemáticas de la lotería

La matemática de la lotería se utiliza aquí para calcular las probabilidades en un juego de lotería. El juego de lotería usado en los ejemplos es aquel en el que se seleccionan 6 números de un total de 49, con la esperanza de que tantos de estos 6 números coincidan con los 6 seleccionados aleatoriamente del mismo grupo de 49 números en el sorteo.

En un juego típico de 6/49, se extraen seis números de un rango de 49 y si los seis números en un boleto coinciden con los números extraídos, el titular del boleto es ganador del bote. Esto es cierto sin importar el orden en que aparecen los números. La probabilidad de esto es de 1 en 13,983,816.

Esta pequeña oportunidad de ganar puede demostrarse de la siguiente manera:

Comenzando con una bolsa de 49 bolas de lotería numeradas, hay 49 formas diferentes pero igualmente probables de elegir el número de la primera bola seleccionada de la bolsa, por lo que hay una probabilidad de 1 en 49 de predecir correctamente el número. Cuando el sorteo llega al segundo número, ahora quedan solo 48 bolas en la bolsa (porque las bolas ya extraídas no se devuelven a la bolsa), por lo que ahora hay una probabilidad de 1 en 48 de predecir este número correctamente.

Así que para cada una de las 49 formas de elegir el primer número, hay 48 formas diferentes de elegir el segundo. Esto significa que la probabilidad de predecir correctamente 2 números extraídos de 49 en el orden correcto se calcula como 1 en 49 × 48. Al extraer el tercer número, hay solo 47 formas de elegir el número, pero por supuesto podríamos haber llegado a este punto en cualquiera de las 49 × 48 formas, por lo que las probabilidades de predecir correctamente 3 números extraídos de 49, nuevamente en el orden correcto, es 1 en 49 × 48 × 47. Esto continúa hasta que se haya extraído el sexto número, dando el cálculo final, 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, que también puede escribirse como 49! / (49 - 6)! Esto da un número muy grande, 10,068,347,520, que es mucho más grande que los 14 millones mencionados anteriormente.

El último paso es entender que el orden de los 6 números no es significativo. Es decir, si un boleto tiene los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, gana siempre que se extraigan todos los números del 1 al 6, sin importar el orden en que salgan. Por lo tanto, dado cualquier conjunto de 6 números, hay 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! o 720 órdenes en los que podrían extraerse. Dividiendo 10,068,347,520 entre 720 da 13,983,816, también escrito como 49! / (6! × (49 - 6)!), o más generalmente como:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Esta función se llama función de combinación. En Microsoft Excel, esta función se implementa como COMBIN(n, k). Por ejemplo, COMBIN(49, 6) (el cálculo mostrado anteriormente) devolvería 13,983,816. Para el resto de este artículo, usaremos la notación $\binom{n}{k}$. “Combinación” significa el grupo de números seleccionados, independientemente del orden en que se extraigan.

Un método alternativo de calcular las probabilidades es nunca hacer la suposición errónea de que las bolas deben seleccionarse en un cierto orden. La probabilidad de que la primera bola corresponda a una de las seis elegidas es 6/49; la probabilidad de que la segunda bola corresponda a una de las cinco restantes elegidas es 5/48; y así sucesivamente. Esto produce una fórmula final de:

$$\frac{6}{49} \times \frac{5}{48} \times \frac{4}{47} \times \frac{3}{46} \times \frac{2}{45} \times \frac{1}{44}$$

El rango de combinaciones posibles para una lotería dada puede referirse como el “espacio numérico”. “Cobertura” es el porcentaje del espacio numérico de una lotería que está en juego para un sorteo dado.

Para calcular las probabilidades de diferentes resultados, uno debe dividir el número de combinaciones que producen el resultado dado por el número total de combinaciones posibles. El numerador equivale al número de formas en que uno puede seleccionar los números ganadores multiplicado por el número de formas en que uno puede seleccionar los números perdedores.

Para un resultado de n (por ejemplo, si 3 de tus números coinciden con las 6 bolas extraídas, entonces n = 3), hay $\binom{6}{n}$ formas de seleccionar n números ganadores de los 6 números ganadores. Esto significa que hay 6 - n números perdedores, que se eligen de los 43 números perdedores en $\binom{43}{6-n}$ formas. El número total de combinaciones que dan ese resultado es, como se mencionó anteriormente, el primer número multiplicado por el segundo. La expresión es por lo tanto $\binom{6}{n} \times \binom{43}{6-n}$.

Esta fórmula puede escribirse en forma general para todas las loterías como:

$$P(n) = \frac{\binom{k}{n} \times \binom{N-k}{k-n}}{\binom{N}{k}}$$

Donde:

• N es el número de bolas en la lotería
• k es el número de bolas en un solo boleto
• n es el número de bolas coincidentes para un boleto ganador

La generalización de esta fórmula se llama distribución hipergeométrica (la función HYPGEOMDIST() en la mayoría de las hojas de cálculo populares).

El juego de lotería Pick8-32 de Trillion Coins implementa un juego de lotería en el que se seleccionan 8 números del 01 al 32 en cualquier orden y pueden repetirse. Las probabilidades de que un boleto coincida con todos los 8 números es simple de calcular e ilustrada por la siguiente matemática:

$$\frac{1}{32^8} = \frac{1}{27,269,633}$$

Esto significa que hay 1 posibilidad en 27,269,633 de coincidir con todos los 8 números. La lotería de Trillion Coins es un juego de lotería que paga en cada sorteo, por lo que los jugadores tienen muchas mejores probabilidades generales de ganar y las probabilidades dependen del número total de boletos que se jueguen. Con este juego, puedes ganar simplemente coincidiendo con más números que cualquier otra persona.

Muchas loterías tienen una bola de poder o “bonus ball”. Si la bola de poder se extrae de un grupo de números diferente al de la lotería principal, simplemente multiplica las probabilidades por el número de bolas de poder. Por ejemplo, en la lotería de 6 de 49, si hubiera 10 números de bola de poder, entonces las probabilidades de obtener un resultado de 3 y la bola de poder serían 1 en 56.66 × 10, o 566.6 (la probabilidad se dividiría por 10, para dar un valor exacto de 8815/4994220). Otro ejemplo de tal juego es Mega Millions, aunque con diferentes probabilidades para el bote.

Cuando más de 1 bola de poder se extrae de un grupo separado de bolas al de la lotería principal (por ejemplo, en el juego de Euromillions), las probabilidades de los diferentes resultados posibles de la bola de poder deben calcularse utilizando el método mostrado en la sección “otros resultados” anterior (en otras palabras, trate las bolas de poder como una mini-lotería en sí misma) y luego multiplicar por las probabilidades de lograr el resultado principal requerido.

Si la bola de poder se extrae del mismo grupo de números que la lotería principal, entonces, para un resultado objetivo dado, debe calcular el número de combinaciones ganadoras, incluyendo la bola de poder. Para juegos basados en la lotería canadiense (como la lotería del Reino Unido), después de extraerse las 6 bolas principales, se extrae una bola adicional del mismo grupo de bolas, y esta se convierte en la bola de poder o “bonus ball”, existiendo un premio adicional para coincidir con 5 bolas y la bola de bonus. Como se describe en la sección “otros resultados” anterior, el número de formas en que se puede obtener un resultado de 5 de un solo boleto es $\binom{6}{5} = 6$ o 258. Dado que el número de bolas restantes es 43, y el boleto tiene 1 número no coincidente restante, 1/43 de estas 258 combinaciones coincidirá con la siguiente bola extraída (la bola de poder). Por lo tanto, hay 258/43 = 6 formas de lograrlo. Por lo tanto, las probabilidades de obtener un resultado de 5 y la bola de poder son 6/ (13,983,816) = 1 en 2,330,636.

De las 258 combinaciones que coinciden con 5 de las 6 bolas principales, en 42/43 de ellas el número restante no coincidirá con la bola de poder, dando probabilidades de 258 × 42/43 = 252 / 13,983,816 = 3/166,474 (aproximadamente 1 en 55,491.33) para obtener un resultado de 5 sin coincidir con la bola de poder.

Usando el mismo principio, para calcular las probabilidades de obtener un resultado de 2 y la bola de poder, calcule el número de formas de obtener un resultado de 2 como $\binom{6}{2} \times \binom{43}{4} = 1,851,150$ y luego multiplique esto por la probabilidad de que uno de los cuatro números restantes coincida con la bola de bonus, que es 4/43. Dado que 1,851,150 × (4/43) = 172,200, la probabilidad de obtener el resultado de 2 y la bola de bonus es 172,200 / 13,983,816 = 1025/83237. Esto da probabilidades decimales aproximadas de 1 en 81.2.

• La fórmula general para coincidir con n bolas en una lotería de k bolas con una bola de bonus del grupo de bolas es:

$$P(n, b) = \frac{\binom{k}{n} \times \binom{N-k}{k-n} \times \frac{n}{N-k}}{\binom{N}{k}}$$

• La fórmula general para coincidir con n bolas en una lotería de k bolas sin bola de bonus del grupo de bolas es:

$$P(n) = \frac{\binom{k}{n} \times \binom{N-k}{k-n}}{\binom{N}{k}}$$

• La fórmula general para coincidir con n bolas en una lotería de k bolas con una bola de bonus de un grupo separado de bolas es:

$$P(n, b) = \frac{\binom{k}{n} \times \binom{N-k}{k-n} \times \frac{1}{B}}{\binom{N}{k}}$$

• La fórmula general para coincidir con n bolas en una lotería de k bolas sin bola de bonus de un grupo separado de bolas es:

$$P(n) = \frac{\binom{k}{n} \times \binom{N-k}{k-n}}{\binom{N}{k}}$$

Es un problema matemático difícil, en la mayoría de los casos abierto, calcular el número mínimo de boletos que uno necesita comprar para garantizar que al menos uno de estos boletos coincida al menos con 2 números. En la lotería de 5 de 90, el número mínimo que puede garantizar un boleto con al menos 2 coincidencias es 100.